Matemática discreta Ejemplos

$\log_{x} (32) = - \frac{5}{3}$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (32) = - \frac{5}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{5}{3}} = 32$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- \frac{3}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{5}{3}})}^{- \frac{3}{5}} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{5}{3}})}^{- \frac{3}{5}}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{5}{3}})}^{- \frac{3}{5}}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{5}{3} (- \frac{3}{5})} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{- 5}{3} (- \frac{3}{5})} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$x^{\frac{- 5}{3} \cdot \frac{- 3}{5}} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$x^{\frac{5 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{5}} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.4

Cancela el factor común.

$x^{\frac{5 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{5}} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{- - 1} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 32^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $32^{- \frac{3}{5}}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{32^{\frac{3}{5}}}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$x = \frac{1}{{(2^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 2.2.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2^{5 (\frac{3}{5})}}$

Paso 2.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{2^{5 (\frac{3}{5})}}$

Paso 2.2.2.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2^{3}}$

Paso 2.2.2.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{8}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{8}$

Forma decimal:

$x = 0.125$